考研数学常考题型解题方法技巧归纳 数学二 毛纲源 编著 2019年版

考研数学常考题型解题方法技巧归纳 数学二
作者：毛纲源 编著
出版时间：2019年版
内容简介
本书是笔者在教育部制定的考研数学（数学二）考试大纲的指导下，经过多年的教学实践、反复锤炼、不断更新而成，全书的知识体系趋于完美，更加符合当前考生复习备考的需求。全书共分为两篇：第1篇为高等数学，第2篇为线性代数。书中附录给出了相应章节配套的经典常考题型同步测试题及参考答案。书中将例题按题型分类，对各类题型的解法进行了归纳总结，重点讲述与考试大纲中基本概念、基本理论、基本方法有关的历年真题和经典试题，内容丰富，题型广泛、全面，任何一年的真题均可在本书中找到对应的题型；同时作者还对各类重点常考题型的解题思路、方法和技巧进行归纳、总结，对容易出错的地方以“注意”的形式作了详尽的注解加以强调，讲解的方法通俗易懂，由浅入深，富于启发。这是一本广度、深度及难度均适合广大考生使用的考研数学辅导书。
目录

第1篇 高等数学
1.1 函数(2)
1.1.1 求两类函数的表达式(2)
题型1.1.1.1 已知一函数求其反函数的表达式(2)
题型1.1.1.2 求与复合函数有关的函数表达式(2)

1.1.2 函数的奇偶性(3)
题型1.1.2.1 判别(证明)几类函数的奇偶性(3)
题型1.1.2.2 奇、偶函数性质的应用(6)

1.1.3 判别(证明)函数的周期性(7)
1.1.4 判定函数的有界性(8)
题型1.1.4.1 判定在有限开区间内连续函数的有界性(9)
题型1.1.4.2 判定无穷区间内连续函数的有界性(9)
题型1.1.4.3 判定分段连续函数的有界性(10)

1.2 极限、连续(11)
1.2.1 极限的概念与基本性质(11)
题型1.2.1.1 正确理解极限定义中的“ε-N”“ε-δ”“ε-X”语言的含义(11)
题型1.2.1.2 正确区别无穷大量与无界变量(11)
题型1.2.1.3 正确运用极限的保序性、保号性(13)
题型1.2.1.4 正确运用极限的四则运算法则及夹逼准则求极限(14)
题型1.2.1.5 正确理解乘积极限的存在性(15)
题型1.2.1.6 正确理解复合函数极限的存在性(15)

1.2.2 求未定式极限(16)
题型1.2.2.1 求0/0型或∞/∞型极限(16)
题型1.2.2.2 求0·∞型极限(21)
题型1.2.2.3 求∞-∞型极限(22)
题型1.2.2.4 求幂指函数型(00型、∞0型、1∞型)极限(22)
1.2.3 求数列极限(27)
题型1.2.3.1 求数列通项为n项和的极限(27)
题型1.2.3.2 求无穷多项积的极限(30)
题型1.2.3.3 求有限项之和或之积的数列极限(31)
题型1.2.3.4 求由递推关系式给出的数列的极限(32)

1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限(34)
题型1.2.4.1 求需先考察左、右极限的函数极限(34)
题型1.2.4.2 求含根式差的函数极限(36)
题型1.2.4.3 求含或可化为含指数函数差的函数极限(37)
题型1.2.4.4 求含lnf(x)的函数极限，其中limx→□f(x)=1(38)
题型1.2.4.5 求含有界变量因式的函数极限(38)
题型1.2.4.6 求含取整函数的函数极限(39)

1.2.5 求含参变量x的函数极限limn→∞φ(n,x)(39)
题型1.2.5.1 求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)或可化为指数函数型F(x)g(n)(39)
题型1.2.5.2 求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)或可化为幂函数型g(n)F(x)(40)
题型1.2.5.3 求limt→t0φ(t,x)，其中φ(t,x)或可化为F(x)g(t)型或g(t)F(x)型(41)
题型1.2.5.4 求limn→∞φ(n,x)=limn→∞F(n,x)g(x,n)或limt→t0φ(t,x)=limt→t0F(t,x)g(x,t)(41)

1.2.6 已知一极限求其待定常数或另一极限(42)
题型1.2.6.1 已知极限式的极限，求其待定常数(42)
题型1.2.6.2 由含未知函数的一(些)极限，求含该函数的另一极限(49)

1.2.7 比较和确定无穷小量的阶(50)
题型1.2.7.1 比较无穷小量的阶(51)
题型1.2.7.2 确定无穷小量的阶数(52)
题型1.2.7.3 正确运用无穷小量阶的运算法则(54)

1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型(54)
题型1.2.8.1 判断函数的连续性(54)
题型1.2.8.2 求函数的间断点并判断其类型(59)

1.2.9 连续函数性质的两点应用(61)
题型1.2.9.1 证明中值等式命题(61)
题型1.2.9.2 证明方程实根的存在性(63)

1.3 一元函数微分学(66)
1.3.1 导数定义的两点应用(66)
题型1.3.1.1 判断函数在某点的可导性(66)
题型1.3.1.2 求分式函数的极限(70)
题型1.3.1.3 讨论函数性质(72)
题型1.3.1.4 利用导数定义求函数表达式(74)

1.3.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性(74)
题型1.3.2.1 讨论分段函数的可导性(74)
题型1.3.2.2 讨论分段函数导函数的连续性(75)
题型1.3.2.3 讨论一类特殊分段函数的连续性、可导性及其导函数的连续性(76)

1.3.3 讨论含绝对值函数的可导性(77)
题型1.3.3.1 讨论｜f(x)｜的可导性(77)
题型1.3.3.2 讨论f(x)=｜φ(x)｜g(x)的可导性(77)

1.3.4 求一元函数的导数和微分(79)
题型1.3.4.1 求复合函数的导数(79)
题型1.3.4.2 求反函数的导数(80)
题型1.3.4.3 求隐函数的导数(81)
题型1.3.4.4 求由参数式确定的函数的导数(83)
题型1.3.4.5 求分段函数的导数(85)
题型1.3.4.6 求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数(86)
题型1.3.4.7 求某些简单函数的高阶导数(86)
题型1.3.4.8 求一元函数的微分(89)

1.3.5 利用连续性、可导性确定待定常数(91)
题型1.3.5.1 利用连续性确定待定常数(91)
题型1.3.5.2 利用可导性确定待定常数(92)

1.3.6 利用微分中值定理的条件及其结论解题(93)
1.3.7 利用罗尔定理证明中值等式(95)
题型1.3.7.1 证明中值等式f′(ξ)=0或f″(ξ)=0(96)
题型1.3.7.2 证明存在ξ∈(a,b)，使cf′(ξ)=bg′(ξ)，其中c,b为常数(97)
题型1.3.7.3 证明存在ξ∈(a,b)，使g(ξ)f′(ξ)+h(ξ)f(ξ)=Q(ξ)(97)
题型1.3.7.4 证明存在ξ∈(a,b) ，使f(ξ)g′(ξ)+f′(ξ)g(ξ)=0(98)
题型1.3.7.5 证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0(98)
题型1.3.7.6 证明存在ξ∈(a,b)，使f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0(99)
题型1.3.7.7 证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)+g′(ξ)f(ξ)=0(100)
题型1.3.7.8 证明存在ξ∈(a,b)，使nf(ξ)+ξf′(ξ)=0(n为正整数)(100)
题型1.3.7.9 证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)+g′(ξ)［f(ξ)-bξ］=b(101)
题型1.3.7.10 证明含两端点(及其函数值)的中值等式(102)
题型1.3.7.11 证明与定积分有关的中值等式(103)

1.3.8 拉格朗日中值定理的应用(104)
题型1.3.8.1 证明与函数差值(改变量)有关的中值（不）等式(105)
题型1.3.8.2 证明函数与其导函数的关系(106)
题型1.3.8.3 求解与函数差值有关的问题(108)
题型1.3.8.4 求中值的极限位置(109)

1.3.9 利用柯西中值定理证明中值等式(110)
题型1.3.9.1 证明两函数差值(增量)比的中值等式(111)
题型1.3.9.2 证明两函数导数比的中值等式(111)

1.3.10 证明多个中值所满足的中值等式(113)
1.3.11 泰勒定理的几点应用(114)
题型1.3.11.1 求函数的泰勒展开式(115)
题型1.3.11.2 应用泰勒公式(麦克劳林公式)求极限(115)
题型1.3.11.3 证明含高阶导函数的中值命题(116)
题型1.3.11.4 应用泰勒公式(麦克劳林公式)证明不等式(118)
题型1.3.11.5 求函数在某点处的高阶导数值(120)

1.3.12 利用导数证明不等式(121)
题型1.3.12.1 证明与函数改变量有关的不等式(122)
题型1.3.12.2 利用函数的导数不等式证明函数不等式(123)
题型1.3.12.3 证明含有或可化为含有均值变量（自变量或函数）的不等式(123)
题型1.3.12.4 已知F(a)≥0(或F(b)≤0)，证明x＞a(或x＜b)时F(x)＞0(123)
题型1.3.12.5 证明含常数加项的不等式(125)
题型1.3.12.6 证明含两个变量(常数)的函数(数值)不等式(126)
题型1.3.12.7 利用函数和导数的几何意义证明函数不等式(128)

1.3.13 讨论函数性态(129)
题型1.3.13.1 证明函数在某区间上是常数(129)
题型1.3.13.2 证明(判别)函数的单调性(129)
题型1.3.13.3 利用极限式讨论函数是否取得极值(131)
题型1.3.13.4 利用方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点(132)
题型1.3.13.5 利用导数不等式讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点(133)
题型1.3.13.6 利用极值点或拐点讨论函数性质(134)
题型1.3.13.7 求曲线的凹、凸区间与拐点(134)
题型1.3.13.8 求函数的单调区间、极值、最值(138)
题型1.3.13.9 求曲线的渐近线(140)

1.3.14 函数性态与函数图形(142)
题型1.3.14.1 利用函数性态作函数图形(142)
题型1.3.14.2 已知函数图形，确定函数或其导函数性质(或图形)(143)
题型1.3.14.3 已知导函数图形，确定原来函数的性态(144)

1.3.15 利用函数性态讨论方程的根(144)
题型1.3.15.1 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数(144)
题型1.3.15.2 讨论含参数的方程实根的存在性及其个数(145)
题型1.3.15.3 已知方程根的个数，求其参数的取值范围(147)

1.3.16 一元函数微分学的几何应用(147)
题型1.3.16.1 求平面曲线的切线方程和法线方程(147)
题型1.3.16.2 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题(150)
题型1.3.16.3 求解与两曲线相切的有关问题(151)
题型1.3.16.4 求解与平面曲线的曲率有关的问题(152)
题型1.3.16.5 求解与变化率有关的问题(153)

1.4 一元函数积分学(155)
1.4.1 原函数与不定积分的关系(155)
题型1.4.1.1 原函数的概念及其判定(155)
题型1.4.1.2 求分段函数的原函数或不定积分(156)
题型1.4.1.3 利用积分与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题(157)

1.4.2 各类被积函数不定积分的算法(158)
题型1.4.2.1 计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分(158)
题型1.4.2.2 计算简单无理函数的不定积分(159)
题型1.4.2.3 求∫1(ax+b)kf1(ax+b)k-1dx，其中k(k≠1)为正实数(163)
题型1.4.2.4 求∫f(x)g(x)dx(163)
题型1.4.2.5 求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的不定积分(165)
题型1.4.2.6 求三角函数有理式的不定积分(166)
题型1.4.2.7 求被积函数含反三角函数的积分(168)
题型1.4.2.8 有理分式函数的积分∫P(x)Q(x)dx(其中P(x),Q(x)为多项式)的算法(169)

1.4.3 利用定积分性质计算定积分(170)
题型1.4.3.1 利用其几何意义计算定积分(170)
题型1.4.3.2 计算对称区间上的定积分(171)
题型1.4.3.3 计算周期函数的定积分(173)
题型1.4.3.4 利用定积分的常用计算公式求定积分(174)
题型1.4.3.5 计算被积函数含函数导数或已知其导数的函数的积分(176)
题型1.4.3.6 比较和估计定积分的大小(177)
题型1.4.3.7 求解含积分值为常数的函数方程(179)
题型1.4.3.8 计算几类需分子区间积分的定积分(179)
题型1.4.3.9 计算含参变量的定积分(182)
题型1.4.3.10 求需换元计算的定积分(183)
题型1.4.3.11 求由定积分表示的变量极限(185)

1.4.4求解与变限积分有关的问题(186)
题型1.4.4.1计算含变限积分的极限(186)
题型1.4.4.2求变限积分的导数(189)
题型1.4.4.3求变限积分的定积分(192)
题型1.4.4.4讨论变限积分函数的性态(194)

1.4.5证明定积分等式(195)
题型1.4.5.1证明定积分的变换公式(195)
题型1.4.5.2证明定积分的中值等式(197)

1.4.6 证明积分不等式(197)
题型1.4.6.1 证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式(197)
题型1.4.6.2 证明函数f(x)在a,b上的定积分满足不等式，其中f(x)在a,b上
满足拉格朗日中值定理的条件，且在区间端点处取零值(198)
题型1.4.6.3 证明∫baf(x)dx或∫baf(x)dx≤k(或≥k)，k为常数(199)
题型1.4.6.4 证明被积函数或其主要部分高阶可导的定积分不等式(200)

1.4.7 计算反常积分(201)
题型1.4.7.1 计算无穷区间上的反常积分(201)
题型1.4.7.2 判别∫+∞adxxp (a>0)与∫+∞adxx(lnx)p (a>0)的敛散性(204)
题型1.4.7.3 判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛，计算其值(205)
题型1.4.7.4 判别∫badx(b-x)p与∫badx(x-a)p的敛散性，如收敛，计算其值(208)
题型1.4.7.5 判别混合型反常积分的敛散性，如收敛，计算其值(208)
题型1.4.7.6 已知反常积分的敛散性，求其待定常数或其取值范围(209)

1.4.8 定积分的应用(210)
题型1.4.8.1 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积(210)
题型1.4.8.2 已知曲线所围平面图形的面积(或其旋转体体积)，反求该曲线(213)
题型1.4.8.3 计算旋转体体积(213)
题型1.4.8.4 计算旋转体的侧(表)面积(216)
题型1.4.8.5 计算平行截面面积已知的立体体积(217)
题型1.4.8.6 计算平面曲线的弧长(218)
题型1.4.8.7 求解几何应用与最值问题相结合的应用题(219)
题型1.4.8.8 用定积分计算质心及形心(222)
题型1.4.8.9 计算物体沿直线所做的功(223)
题型1.4.8.10 计算压力与引力(224)
题型1.4.8.11 计算变速运动的位移(227)
题型1.4.8.12 求函数在区间上的平均值(227)

1.5多元函数微分学(228)
1.5.1二(多)元函数微分学中的几个概念(228)
题型1.5.1.1 依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微(229)
题型1.5.1.2 讨论二元函数连续、可偏导及可微之间的关系(231)
题型1.5.1.3 利用二元函数值（或变量）的不等式推导自变量（或函数值）的大小关系(232)

1.5.2计算偏导数和全微分(233)
题型1.5.2.1利用隐函数存在定理确定隐函数(233)
题型1.5.2.2计算显函数的偏导数(233)
题型1.5.2.3求抽象复合函数的偏导数(235)
题型1.5.2.4计算隐函数的偏导数(240)
题型1.5.2.5作变量代换将偏导数满足的方程变形(242)
题型1.5.2.6求二元函数的全微分(244)
题型1.5.2.7已知偏导数所满足的全微分方程求二元函数(245)

1.5.3多元函数微分学的应用(245)
题型1.5.3.1求二元函数的极值(245)
题型1.5.3.2求二(多)元函数的条件极值(248)
题型1.5.3.3求二(多)元函数的最值(250)

1.6二重积分(253)
1.6.1利用二重积分性质求解与二重积分有关的问题(253)
1.6.2交换积分次序及转换二（累）次积分(255)
题型1.6.2.1交换二（累）次积分的积分次序(255)
题型1.6.2.2转换二（累）次积分(256)

1.6.3用直角坐标系计算二重积分(258)
题型1.6.3.1计算需根据积分区域选择积分次序的二重积分(258)
题型1.6.3.2计算需根据被积函数选择积分次序的二重积分(258)
题型1.6.3.3计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分(261)
题型1.6.3.4计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分(264)
题型1.6.3.5分块计算二重积分(266)
题型1.6.3.6计算无界区域上较简单的二重积分(269)

1.6.4用极坐标系计算二重积分(270)
题型1.6.4.1计算圆域x2+y2≤a2(a＞0)上的二重积分(270)
题型1.6.4.2计算圆域x2+y2≤2ax(a＞0)上的二重积分(271)
题型1.6.4.3计算圆域x2+y2≤-2ax(a＞0)上的二重积分(271)
题型1.6.4.4计算圆域x2+y2≤2by(b＞0)上的二重积分(272)
题型1.6.4.5计算圆域x2+y2≤-2by(b＞0)上的二重积分(273)
题型1.6.4.6计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c(a,b＞0)上的二重积分(273)
题型1.6.4.7计算两圆域公共部分上的二重积分(274)

1.6.5求含二重积分的极限(275)
1.7常微分方程(277)
1.7.1求解一阶线性微分方程(277)
题型1.7.1.1求解可分离变量的微分方程(277)
题型1.7.1.2求解齐次微分方程(278)
题型1.7.1.3求解一阶线性微分方程(279)
题型1.7.1.4求解几类可化为一阶线性方程的方程(282)
题型1.7.1.5求解由自变量与因变量的两增量关系给出的一阶方程(283)
题型1.7.1.6求满足某种性质的一阶线性方程的特解(284)

1.7.2求解线性微分方程(285)
题型1.7.2.1利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题(286)
题型1.7.2.2求解几类可降阶的高阶微分方程(287)
题型1.7.2.3求解常系数齐次线性方程(289)
题型1.7.2.4求解二阶常系数非齐次线性方程(291)
题型1.7.2.5变换已知的微分方程为新的形式，并求其解(294)
题型1.7.2.6求解含变限积分的方程(296)
题型1.7.2.7求解可化为一阶线性微分方程的函数方程(296)
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